Gröbnerbasen

Meine bisherige Forschungstätigkeit ist geprägt von der Idee der algebraischen Simplifikation und ihrer zentralen Rolle in der Computer Algebra. Ziel algebraischer Simplifikation ist es, Objekte einer algebraischen Struktur in äquivalente, `einfachere' Elemente umzuformen und somit gewisse Elemente als Repräsentanten auszuzeichnen. Angestrebt wird dabei die effektive Berechnung eindeutiger Repräsentanten äquivalenter Objekte. Dieser Prozeß wird in der Literatur häufig mit kanonischer Simplifikation bezeichnet. Er spielt eine wichtige Rolle, da er eng verknüpft ist mit dem effektiven Rechnen in algebraischen Strukturen und der Entscheidung des Kongruenzproblems.

Erfolgreich eingesetzt wird die Technik der algebraischen Simplifikation z.B. bei der Darstellung von Monoiden und Gruppen durch sogenannte Wortersetzungssysteme oder semi-Thue Systeme. Solche Wortersetzungssyteme können durch den sogenannten Knuth-Bendix-Algorithmus `vervollständigt' werden. Endliche vollständige Darstellungen erlauben immer kanonische Simplifikation und eindeutige Repräsentanten der zugehörigen Monoide. Jedoch läßt nicht jede Darstellung kanonische Simplifikation zu; dies gilt beispielsweise für Darstellungen von Monoiden und Gruppen mit einem unentscheidbarem Wortproblem.

Ein weiteres Feld, in dem die Idee algebraischer Simplifikationsmethoden Anwendung gefunden hat, sind Polynomringe über Körpern: 1965 wurde von Buchberger im Rahmen seiner Dissertation das Konzept der Gröbnerbasen für Ideale in Polynomringen über Körpern entwickelt. Gröbnerbasen sind endliche Idealbasen bezüglich derer ein kanonischer Simplifikationsprozeß möglich ist. Dabei wird ein Polynom p mit einem anderen Polynom f simplifiziert (beziehungsweise reduziert genannt), falls ein geeignetes Monomvielfaches von f benutzt werden kann, um p durch Subtraktion zu verkleinern (bezüglich einer sogenannten zulässigen Ordnung). Benutzt man in diesem Simplifikationsprozeß nur Elemente einer Gröbnerbasis eines Ideals, so erhält man eindeutige Repräsentanten bezüglich der Idealkongruenz und der Repräsentant der Idealelemente ist die Null. Buchberger gab in seiner Arbeit ein effektives Verfahren, den sogenannten Buchberger Algorithmus, an, um eine Idealbasis in eine endliche Gröbnerbasis zu transformieren. Implementierungen dieses Algorithmus sind in vielen Computer Algebra Systemen vorhanden (z.B. in Maple, Mathematica und REDUCE). Kanonische Simplifikation mit Gröbnerbasen wird in der Praxis benutzt, um idealtheoretische Probleme in Polynomringen zu lösen. Die Anwendungen reichen vom effektiven Rechnen in Quotientenringen, über das Lösen von Polynomgleichungen, das Untersuchen von Nullstellengebilden bis hin zur Eliminationstheorie und dem geometrischen Beweisen.

Auch in anderen algebraischen Strukturen interessiert man sich für sogenannte Moduln oder Ideale und sucht nach Wegen, algebraische Simplifikationsmethoden zur effektiven Lösung von Problemen einzusetzen. Von besonderem Interesse sind dabei die Monoid- und Gruppenringe. Hier werden algebraische Simplifikationsmethoden eingesetzt, um zum einen das effektive Rechnen im Monoid oder der Gruppe zu realisieren und zum anderen durch den Einsatz von Gröbnerbasen Ideale oder Moduln zu behandeln. Moduln über Gruppenringen spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Quotienten von endlich dargestellten Gruppen. Ein Überblick über die hierbei benutzten Methoden findet sich in der Arbeit von Sims. Für den sogenannten meta-abelschen Fall werden Gröbnerbasen in kommutativen Gruppenringen benötigt; Sims benutzt hierfür Quotienten der Laurent Polynomringe, die mit herkömmlichen Implementierungen des Buchberger Algorithmus für kommutative Polynomringe behandelt werden können. Um diese Methode auch für andere Fälle einsetzen zu können, benötigt man eine erfolgreiche Verallgemeinerung der Gröbnerbasenmethoden für nicht-kommutative Gruppenringe und eine Implementierung der dazugehörigen Algorithmen. Die theoretischen Grundlagen sind in meiner Dissertation für die Klasse der endlich dargestellten freien Gruppen, die Klasse der endlich dargestellten plain Gruppen, die Klasse der endlich dargestellten kontext-freien Gruppen und die Klasse der endlich dargestellten nilpotenten Gruppen gelungen. Diese Ergebnisse wurden f\"ur die Klasse der polyzyklischen Gruppenringe erweitert.

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